Entendiendo el Factorial (!) en Matemáticas y Estadística

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En matemáticas, los símbolos que tienen Ciertos significados en el idioma inglés. puede significar cosas muy especializadas y diferentes. Por ejemplo, considere la siguiente expresión:

3!

No, no usamos el punto de exclamación para mostrar que estamos entusiasmados con tres, y no debemos leer la última oración con énfasis. En matemáticas, la expresión 3! se lee como 'tres factoriales' y es realmente una forma abreviada de denotar la multiplicación de varios números enteros consecutivos.

Dado que hay muchos lugares en matemáticas y estadísticas donde necesitamos multiplicar números, el factorial es bastante útil. Algunos de los principales lugares donde aparece son la combinatoria y la probabilidad. cálculo .

Definición

La definición del factorial es que para cualquier número entero positivo norte , el factorial:

norte ! = norte x (n -1) x (n - 2) x . . . x 2 x 1

Ejemplos de valores pequeños

Primero veremos algunos ejemplos del factorial con valores pequeños de norte :

• 1! = 1
• 2! = 2x1 = 2
• 3! = 3x2x1 = 6
• 4! = 4x3x2x1 = 24
• 5! = 5x4x3x2x1 = 120
• 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Como podemos ver, el factorial se vuelve muy grande muy rápidamente. Algo que puede parecer pequeño, como 20! en realidad tiene 19 dígitos.

Los factoriales son fáciles de calcular, pero pueden ser algo tediosos de calcular. Afortunadamente, muchas calculadoras tienen una clave factorial (busque el símbolo !). Esta función de la calculadora automatizará las multiplicaciones.

Un caso especial

Otro valor del factorial y para el cual la definición estándar anterior no se cumple es el de factorial cero . Si seguimos la fórmula, entonces no llegaríamos a ningún valor para 0!. No hay números enteros positivos menores que 0. Por varias razones, ¡es apropiado definir 0! = 1. El factorial para este valor aparece particularmente en las fórmulas para combinaciones y permutaciones .

Cálculos más avanzados

Cuando se trata de cálculos, es importante pensar antes de presionar la tecla factorial en nuestra calculadora. Para calcular una expresión como 100!/98! hay un par de maneras diferentes de hacer esto.

Una forma es usar un calculadora para encontrar los dos 100! y 98!, luego divide uno por el otro. Aunque esta es una forma directa de calcular, tiene algunas dificultades asociadas. ¡Algunas calculadoras no pueden manejar expresiones tan grandes como 100! = 9,33262154 × 10¹⁵⁷. (La expresión 10¹⁵⁷es una notación científica que significa que multiplicamos por 1 seguido de 157 ceros). ¡Este número no solo es enorme, sino que también es solo una estimación del valor real de 100!

Otra forma de simplificar una expresión con factoriales como el que se ve aquí no requiere ninguna calculadora. ¡La forma de abordar este problema es reconocer que podemos reescribir 100! no como 100 x 99 x 98 x 97 x . . . x 2 x 1, sino como 100 x 99 x 98! La expresión 100!/98! ahora se convierte en (100 x 99 x 98!)/98! = 100 x 99 = 9900.