¿Cuál es la diferencia de dos conjuntos en la teoría de conjuntos?

La región roja del diagrama de Venn denota el conjunto A - B. C.K.Taylor

La diferencia de dos conjuntos, escrita A - B es el conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B . La operación diferencia, junto con la unión y la intersección, es una operación importante y operación fundamental de la teoría de conjuntos .

Descripción de la diferencia

La resta de un número de otro se puede pensar de muchas maneras diferentes. Un modelo para ayudar a comprender este concepto se llama el modelo para llevar de sustracción . En este, el problema 5 - 2 = 3 se demostraría comenzando con cinco objetos, quitando dos de ellos y contando que quedaban tres. De la misma manera que encontramos la diferencia entre dos números, podemos encontrar la diferencia de dos conjuntos.

Un ejemplo

Veremos un ejemplo de la diferencia de conjuntos. Para ver cómo la diferencia de dos conjuntos forma un nuevo conjunto, consideremos los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar la diferencia A - B de estos dos conjuntos, comenzamos escribiendo todos los elementos de A , y luego quitar cada elemento de A eso también es un elemento de B . Ya que A comparte los elementos 3, 4 y 5 con B , esto nos da la diferencia de conjunto A - B = {1, 2}.

El orden es importante

Así como las diferencias 4 - 7 y 7 - 4 nos dan respuestas diferentes, debemos tener cuidado con el orden en que calculamos la diferencia de conjuntos. Para usar un término técnico de las matemáticas, diríamos que la operación de conjunto de diferencia no es conmutativa. Lo que esto significa es que, en general, no podemos cambiar el orden de la diferencia de dos conjuntos y esperar el mismo resultado. Podemos afirmar con mayor precisión que para todos los conjuntos A y B , A - B no es igual a B - A .

Para ver esto, consulte el ejemplo anterior. Calculamos que para los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, la diferencia A - B = {1, 2}. Para comparar esto con B - A, Comenzamos con los elementos de B , que son 3, 4, 5, 6, 7, 8, y luego quita el 3, el 4 y el 5 porque estos son comunes con A . El resultado es B - A = {6, 7, 8}. Este ejemplo nos muestra claramente que A-B no es igual a B-A .

El complemento

Un tipo de diferencia es lo suficientemente importante como para merecer su propio nombre y símbolo especiales. Esto se llama el complemento, y se usa para la diferencia de conjuntos cuando el primer set es el conjunto universal. el complemento de A viene dada por la expresión EN - A . Se refiere al conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no son elementos de A . Dado que se entiende que el conjunto de elementos que podemos elegir se toman del conjunto universal, simplemente podemos decir que el complemento de A es el conjunto formado por elementos que no son elementos de A .

El complemento de un conjunto es relativo al conjunto universal con el que estamos trabajando. Con A = {1, 2, 3} y EN = {1, 2, 3, 4, 5}, el complemento de A es {4, 5}. Si nuestro conjunto universal es diferente, digamos EN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, entonces el complemento de A {-3, -2, -1, 0}. Siempre asegúrese de prestar atención al conjunto universal que se está utilizando.

Notación para el Complemento

La palabra 'complemento' comienza con la letra C, por lo que se usa en la notación. El complemento del conjunto A se escribe como A ^C. Entonces podemos expresar la definición del complemento en símbolos como: A ^C= EN - A .

Otra forma que se usa comúnmente para denotar el complemento de un conjunto implica un apóstrofe y se escribe como A '.

Otras identidades que involucran la diferencia y los complementos

Hay muchas identidades de conjuntos que involucran el uso de las operaciones de diferencia y complemento. Algunas identidades combinan otras operaciones de conjuntos, como la intersección y Unión . Algunos de los más importantes se indican a continuación. Para todos los conjuntos A , y B y D tenemos:

• A - A =∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - EN = ∅
• ( A ^C)^C= A
• Ley de DeMorgan I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• Ley de DeMorgan II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C