Función exponencial y decaimiento

En matemáticas, Decrecimiento exponencial describe el proceso de reducir una cantidad en una tasa porcentual constante durante un período de tiempo. Se puede expresar mediante la fórmula y=a(1-b)^X donde y es la cantidad final, a es la cantidad original, b es el factor de decaimiento, y X es la cantidad de tiempo que ha pasado.

La fórmula de decaimiento exponencial es útil en una variedad de aplicaciones del mundo real, sobre todo para rastrear el inventario que se usa regularmente en la misma cantidad (como comida para la cafetería de una escuela) y es especialmente útil en su capacidad para evaluar rápidamente el costo a largo plazo. de uso de un producto a lo largo del tiempo.

El decaimiento exponencial es diferente de decaimiento lineal en que el factor de disminución se basa en un porcentaje de la cantidad original, lo que significa que el número real en el que se podría reducir la cantidad original cambiará con el tiempo, mientras que una función lineal disminuye el número original en la misma cantidad cada vez.

También es lo contrario de crecimiento exponencial , que normalmente ocurre en los mercados bursátiles en los que el valor de una empresa crecerá exponencialmente con el tiempo antes de llegar a una meseta. Puede comparar y contrastar las diferencias entre el crecimiento exponencial y la disminución, pero es bastante sencillo: uno aumenta la cantidad original y el otro la disminuye.

Elementos de una fórmula de decaimiento exponencial

Para empezar, es importante reconocer la fórmula del decaimiento exponencial y poder identificar cada uno de sus elementos:

y = a (1-b)^X

Para comprender correctamente la utilidad de la fórmula de decaimiento, es importante entender cómo se define cada uno de los factores, comenzando con la frase 'factor de decaimiento', representado por la letra b en la fórmula de decaimiento exponencial, que es un porcentaje por el cual la cantidad original disminuirá cada vez.

La cantidad original aquí, representada por la letra a en la fórmula: es la cantidad antes de que ocurra la descomposición, por lo que si piensa en esto en un sentido práctico, la cantidad original sería la cantidad de manzanas que compra una panadería y el factor exponencial sería el porcentaje de manzanas utilizadas cada hora para hacer empanadas.

El exponente, que en el caso del decaimiento exponencial es siempre el tiempo y se expresa con la letra x, representa la frecuencia con la que ocurre el decaimiento y generalmente se expresa en segundos, minutos, horas, días o años.

Un ejemplo de decaimiento exponencial

Use el siguiente ejemplo para ayudar a comprender el concepto de decaimiento exponencial en un escenario del mundo real:

El lunes, Ledwith's Cafeteria atiende a 5000 clientes, pero el martes por la mañana, las noticias locales informan que el restaurante no pasa la inspección sanitaria y tiene, ¡ay!, infracciones relacionadas con el control de plagas. El martes, la cafetería atiende a 2.500 clientes. El miércoles, la cafetería atiende solo a 1.250 clientes. El jueves, la cafetería atiende a unos míseros 625 clientes.

Como puede ver, la cantidad de clientes disminuyó en un 50 por ciento todos los días. Este tipo de declinación difiere de una función lineal. en un función lineal , el número de clientes disminuiría en la misma cantidad todos los días. La cantidad inicial ( a ) sería 5.000, el factor de decaimiento ( b ) sería, por lo tanto, .5 (50 por ciento escrito como un decimal), y el valor del tiempo ( X ) estaría determinado por la cantidad de días para los que Ledwith quiere predecir los resultados.

Si Ledwith preguntara cuántos clientes perdería en cinco días si la tendencia continuara, su contador podría encontrar la solución conectando todos los números anteriores en la fórmula de decrecimiento exponencial para obtener lo siguiente:

y = 5000(1-.5)⁵

La solución es 312 y medio, pero como no se puede tener medio cliente, el contador redondearía el número a 313 y podría decir que en cinco días, ¡Ledwith podría esperar perder otros 313 clientes!